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Resolver integrales por partes puede ser un desafío para muchos estudiantes de matemáticas. Sin embargo, con el método adecuado, resolver integrales puede ser más sencillo y eficiente.
Una técnica útil para resolver ciertos tipos de integrales es la integración por partes.
En este artículo, vamos a explicar qué es la integración por partes y cómo se utiliza en la resolución de integrales.
¿Qué es la integración por partes?
La integración por partes es una técnica de cálculo integral que se utiliza para resolver integrales de la forma f(x) g(x) dx. Es decir, cuando la integral se presenta como el producto de dos funciones. La fórmula de integración por partes es:
∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫[f'(x) ∫g(x) dx] dx
Donde f'(x) es la derivada de la función f(x) y ∫g(x)dx es la integral de la función g(x).
¿Cómo se utiliza la integración por partes?
Para utilizar la integración por partes, se deben seguir los siguientes pasos:
Seleccionar f(x) y g(x). Para seleccionar estas funciones, es importante elegir una función que se integre fácilmente y otra que se derive fácilmente. Por ejemplo, si se tiene la integral ∫x*cos(x) dx, se puede seleccionar f(x) = x y g(x) = cos(x).
Derivar f(x). Una vez que se han seleccionado las funciones, se debe derivar la función f(x) para obtener su derivada f'(x). Siguiendo el ejemplo anterior, f'(x) = 1.
Integrar g(x). Después de obtener f'(x), se integra la función g(x) para obtener ∫g(x) dx. Siguiendo el ejemplo anterior, ∫g(x) dx = sin(x).
Sustituir en la fórmula de integración por partes. Finalmente, se sustituyen los valores en la fórmula de integración por partes para obtener el resultado de la integral. Siguiendo el ejemplo anterior:
∫x cos(x) dx = x sin(x) – ∫[1sin(x)] dx = x sin(x) + cos(x) + C
Ejemplos de integración por partes
La integración por partes se puede utilizar para resolver una amplia variedad de integrales. A continuación, se presentan algunos ejemplos:
∫x.ex dx: En este caso, se puede seleccionar f(x) = x y g(x) = ex. Al derivar f(x), se obtiene f'(x) = 1, y al integrar g(x), se obtiene ∫g(x) dx = ex. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:
∫x. ex dx = x ex – ∫[1ex] dx = x ex – ex + C
∫ln(x) dx: En este caso, se puede seleccionar f(x) = ln(x) y g(x) = 1. Al derivar f(x), se obtiene f'(x) = 1/x, y al integrar g(x), se obtiene ∫g(x) dx = x. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:
∫ln(x) dx = x ln(x) – ∫[1/xx] dx = x . ln(x) – x + C
∫arctan(x) dx: En este caso, se puede seleccionar f(x) = arctan(x) y g(x) = 1. Al derivar f(x), se obtiene f'(x) = 1/(1+x2), y al integrar g(x), se obtiene ∫g(x)dx = x. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:
∫arctan(x) dx = x arctan(x) – ∫[(1+x2) / ((1+x2) x)] dx = x arctan(x) – ∫[1/(x (1+x2))] dx
Algo muy importante a la hora de estudiar las matemáticas es prestar atención a los detalles y practicar lo suficiente y en variedad de casos. Por ello, te traigo algunos ejemplos comunes acerca de las integrales por partes.
Lista de 5 ejercicios resueltos sobre Integrales por Partes
Acá podrás mirar, el paso a paso de 5 ejercicios propuestos de integrales por partes.
Ejercicio 1: ∫xexdx
- Paso 1: u = x, dv = exdx
- Paso 2: du = dx, v = ex
- Aplicación: ∫ xexdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + C = ex (x−1) + C
Ejercicio 2: ∫ln(x)dx
- Paso 1: u = ln(x), dv = dx
- Paso 2: du = 1/x dx, v = x
- Aplicación: ∫ln(x)dx = x ln(x) − ∫x ⋅1/x dx = x ln(x) − ∫1 dx = x ln(x) − x + C
Ejercicio 3:
- Paso 1: ,
- Paso 2: ,
- Aplicación:
Ejercicio 4: ∫ex cos (x) dx
- Paso 1: u = ex, dv = cos(x) dx
- Paso 2: du = ex dx, v = sin(x)
- Aplicación: ∫ex cos(x)dx = ex sin(x) − ∫ex sin(x)dx
- Aplicando por partes nuevamente: u = ex, dv = sin(x)dx
- du =ex dx, v = −cos(x)
- ∫ex cos(x)dx = ex sin(x) − (−ex cos(x) + ∫ex cos(x)dx)
- I =ex sin(x) + ex cos(x) − I
- 2I = ex (sin(x) + cos(x))
- I = (ex (sin(x) + cos(x))) / 2 + C
Ejercicio 5: ∫x2 exdx
- Paso 1: u = x2, dv = ex dx
- Paso 2: du = 2xdx, v = ex
- Aplicación: ∫x2 ex dx = x2 ex − ∫2x ex dx
- Aplicar por partes nuevamente: u = 2x, dv = ex dx
- du = 2dx, v = ex
- ∫2x ex dx = 2x ex − ∫2ex dx = 2x ex − 2ex
- ∫x2 ex dx = x2 ex − (2x ex − 2ex) = ex (x2 − 2x + 2) + C
Consejos para la integración por partes
La integración por partes puede ser una técnica muy útil para resolver integrales, pero es importante seguir ciertas recomendaciones para utilizarla correctamente:
Seleccionar f(x) y g(x) cuidadosamente: Es importante elegir las funciones f(x) y g(x) de manera que se puedan integrar y derivar fácilmente.
Usar la fórmula de integración por partes varias veces: En algunos casos, es necesario utilizar la fórmula de integración por partes más de una vez para resolver la integral.
Simplificar la integral antes de integrar por partes: En ocasiones, se puede simplificar la integral antes de utilizar la técnica de integración por partes. Esto puede hacer que el proceso sea más sencillo.
Conclusión
La integración por partes es una técnica útil para resolver ciertos tipos de integrales. Es importante elegir cuidadosamente las funciones f(x) y g(x) para obtener un resultado más sencillo.
Además, es recomendable utilizar la fórmula de integración por partes varias veces si es necesario y simplificar la integral antes de integrar por partes.
Con estos consejos, resolver integrales por partes puede ser más fácil y eficiente.
Recomendaciones
Practica con diferentes ejemplos de integrales por partes para mejorar tu habilidad en la técnica.
Familiarízate con las funciones comunes que se usan en la integración por partes, como la función exponencial, logarítmica y trigonométrica.
Busca tutoriales o recursos en línea para obtener más información sobre la técnica de integración por partes.
Si quieres leer más:
Preguntas frecuentes:
1.- ¿La integración por partes se puede utilizar en cualquier integral?
No, la integración por partes solo se puede utilizar en integrales que se presentan como el producto de dos funciones.
2.- ¿Qué pasa si la fórmula de integración por partes se aplica varias veces y no se obtiene una solución?
En algunos casos, es posible que sea necesario utilizar otras técnicas de integración o que la integral no tenga una solución analítica.
3.- ¿Cómo se sabe qué función seleccionar como f(x) y g(x)?
No hay una regla fija para seleccionar las funciones, pero es importante elegir una función que se integre fácilmente y otra que se derive fácilmente.
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