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Las Ecuaciones de los Fluidos

Las ecuaciones de los fluidos ayudan a la predicción meteorológica 2 grandes retos

Hablar de retos, es hablar de las ecuaciones de los fluidos, actualmente son consideradas problemas de las matemáticas las ecuaciones de Navier Stokes.

Algo que podría ser de gran ayuda a la humanidad es realizar un aporte que logren ayudan a la predicción meteorológica o el estudio de posibles inundaciones.

Vaya eso sería fantástico, predicciones meteorológicas o de los fluidos a partir de las ecuaciones de los fluidos, aunque sigue siendo un tema de controversia y muy profundo, no deja de plantear uno de los grandes desafíos de la ciencia que es predecir el comportamiento de los fluidos a partir de las ecuaciones que describen su dinámica.

Esto sin duda puede permitir llegar a una mejor comprensión de los fenómenos físicos —como la formación de tornados, de frentes de aire de diferentes temperaturas, de olas y tsunamis, o la ruptura de una gota— lo que podría facilitar mucho la prevención, y colaborar de la mano con, la predicción meteorológica o el estudio de posibles vaguadas e inundaciones.

Las Ecuaciones de los Fluidos comportamiento del agua

Motivación detrás de las ecuaciones de los fluidos

El estudio de las ecuaciones de los fluidos da lugar a una de las preguntas incluidas entre los siete problemas del milenio, cuya resolución está premiada con un millón de dólares, con una motivación así todos intentaríamos resolverlas.

Motivación detrás de las ecuaciones de los fluidos

No todo queda allí, ya que también ha motivado otras cuestiones de gran interés en la investigación matemática actual, sobre las que se están obteniendo importantes avances en estos años.

En 1755 el matemático Leonhard Euler escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que llevan su nombre y que rigen el movimiento de un fluido ideal, en otras palabras, viene libre de las fuerzas de fricción provocadas por las interacciones entre las moléculas que lo forman.

Si te ha parecido interesante lo que has leído hasta ahora, espera a que sigas leyendo, quédate hasta el final.

Casi un siglo  después, para el año de 1822, Claude-Louis Henri Navier y en épocas diferentes con trabajos independientes, en 1845, George Gabriel Stokes se dedicaron al estudio del caso de un fluido viscoso, en el que llegaron a conclusiones en el que mencionan que sí está sujeto a fuerzas de fricción, e introdujeron en el modelo de Euler un nuevo término, el de la viscosidad, llegando a las ecuaciones que hoy denominamos de “Navier-Stokes”.

Las ecuaciones de los fluidos presentes en las de Navier-Stokes, describen la dinámica de los fluidos a partir de la ley de conservación de la masa y la segunda ley de Newton.

Esta asocia la aceleración de las partículas con las fuerzas que actúan sobre ellas: las variaciones espaciales de la presión, las fuerzas de rozamiento entre las moléculas –que definen cómo de viscoso es un fluido– y posibles fuerzas externas como la gravitatoria. A esto se suma la ecuación que recoge la incompresibilidad del fluido. Además, la dinámica podría depender de otros factores, como la temperatura o la presencia de un campo magnético, que harían que el modelo fuera aún más complejo.

Funcionamiento de las ecuaciones de los fluidos

Estas ecuaciones en opinión de expertos funcionan de la siguiente manera: tú les dices cuál es la velocidad del fluido en un determinado momento del tiempo –lo que se conoce como dato inicial– y, al resolverlas, ellas te devuelven la velocidad de ese fluido en cualquier momento posterior –la solución–.

Lamentablemente, la resolución de las ecuaciones de los fluidos no es sencilla.

El mayor de los problemas que se presenta con el análisis de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes radica en que son sistemas inestables, veamos ejemplos de ello:

  • En los que pequeñas perturbaciones pueden cambiar por completo la configuración del sistema.
  • No lineales, las respuestas no son proporcionales al estímulo que las provoca.
  • No locales, lo que ocurre en un punto no depende solo de lo que sucede en su entorno inmediato, sino del estado de todo el fluido.

En consecuencia, no fue hasta principios del siglo pasado cuando se demostró la existencia de soluciones de estas ecuaciones. En 1933, el francés Jean Lerauy probó la existencia y unicidad de soluciones regulares.

Las ecuaciones de los fluidos llevaron más allá a Jean Lerauy

Estas son velocidades ligeras, en las que no se manifiestan cambios bruscos, lo que se corresponde, en términos matemáticos, a funciones diferenciables. Por ejemplo, la velocidad del agua que discurre tranquila por los meandros de un río es suave, mientras que la que corre por sus rápidos es irregular.

Con ello Lerauy probó que, partiendo de una velocidad regular, hay una única velocidad, también regular, que varía con el tiempo, y resuelve las ecuaciones durante cierto intervalo temporal futuro (que depende del dato inicial). Más allá de ese intervalo, Leray no fue capaz de asegurar que las ecuaciones tuvieran solución.

Datos concluyentes de Jean Lerauy en las ecuaciones de los fluidos

Un tiempo después Jean, introdujo en las ecuaciones de Navier-Stokes la noción de “solución débil”, que puede ser regular o irregular, y probó que siempre, para cualquier momento del tiempo, existen este tipo de soluciones .

Principalmente, las velocidades que resuelven Navier-Stokes deberían ser suaves, pero el concepto de solución débil aporta una nueva manera de entender estas ecuaciones, de modo que puedan dar lugar a soluciones también irregulares.

Nuevos problemas en las ecuaciones de los fluidos

Algo que no vimos venir, es que a partir de estas ideas surgen dos de los problemas matemáticos más importantes del área.

1.- El primero es determinar si hay soluciones regulares para todo tiempo o, por el contrario, estas se convierten en irregulares en algún momento. Cuando esto sucede, se dice que se forma una singularidad.

Si consideramos el fluido en dos dimensiones, Witold Wolibner y Leray demostraron que no se producen singularidades, y que sus soluciones existen y se preservan regulares para todo tiempo. Pero, en tres dimensiones el problema todavía está sujeto a investigación.

Bueno mis amigos que leen este artículo, esta cuestión está incluida en la lista de problemas del milenio de la Fundación Clay, y su resolución está premiada con un millón de dólares.

2.- El segundo problema se pregunta por la unicidad de las soluciones débiles. Es decir, ¿puede haber dos soluciones débiles distintas que comiencen en el mismo dato inicial? O, ¿Dado un dato inicial solo puede haber una única solución débil? Desde una perspectiva clásica, uno espera que una misma situación no dé lugar a dos futuros diferentes.

Sin embargo, se sabe que  esto no es así para la ecuación de Euler. Para la de Navier-Stokes en dos dimensiones sabemos que sí hay unicidad de soluciones débiles, y en tres dimensiones no sabemos lo que sucede.

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En la actualidad, ¿Qué trabajos hay sobre las ecuaciones de los fluidos?

En los últimos años ha habido grandes avances en la resolución de este problema, entre las que destaca un trabajo reciente de Tristán Buckmaster y Vlad Vicol.

Estos investigadores han demostrado que, si se consideran soluciones aún más débiles que las de Leray, entonces no hay unicidad. Sin embargo, la unicidad de las de Leray sigue siendo una incógnita que científicos en todo el mundo tratan de resolver.

Fuente: Ángel Castro y Diego Córdoba son investigadores

A continuación un vídeo obtenido de Youtube del canal de Jorge Martínez Ing. de Aviones, en el que nos habla sobre las ecuaciones originales de “Navier Stokes”.

Preguntas Frecuentes

1.-  ¿Qué son Fluidos?

Los fluidos son un sistema material, cuyas moléculas se mueven libremente unas respecto a las otras, Ejemplo de fluidos son los líquidos y los gases.

2.- ¿Qué es un fluido ideal?

Se puede entender como fluido ideal,  a todo fluido de viscocidad nula, incompresible y deformable cuando este llega a ser sometido a tensiones cortantes por muy pequeñas que estas sean.

3.-  ¿Qué es un fluido Real?

Se llama fluido Real, a todo fluido que si es viscoso y a su vez compresible

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